【题目】已知函数().
(1)若,求的导数;
(2)讨论的单调区间;
(3)设,若对任意,均存在,使得,求a的取值范围.
【答案】(1)(2)见解析(3).
【解析】
(1)根据得到,再求导.
(2)()根据定义域和根的大小,分,, ,四种情况讨论求解.
(3)根据对任意,均存在,使得,转化为在上有,然后分别求得两个函数的最大值即可.
(1)当时,,
所以.
(2)().可化为
().
①当时,,,在区间上,,在区间上,
故的单调递增区间是,单调递减区间是.
②当时,,在区间和上,;在区间上,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是.
③当时,,故的单调递增区间是.
④当时,,在区间和上,;在区间上,,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是.
(3)由已知,在上有.
因为,
所以,由(2)可知,
①当时,在上单调递增,
故,
所以,解得,
故.
②当时,在上单调递增,在上单调递减,
故.
由可知,,,
所以,,即,
综上所述,.
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【题目】已知函数(,常数).
(1)当时,讨论函数的奇偶性并说明理由;
(2)若函数在区间上单调,求正数的取值范围;
(3)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年产量y(万吨) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根据表中数据,建立关于的线性回归方程;
(Ⅱ)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.(参考数据:,计算结果保留小数点后两位)
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【题目】已知三棱锥P﹣ABC中,AC⊥BC,AC=BC=2,PA=PB=PC=3,O是AB中点,E是PB中点.
(1)证明:平面PAB⊥平面ABC;
(2)求点B到平面OEC的距离.
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【题目】如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是( )
A. 这15天日平均温度的极差为
B. 连续三天日平均温度的方差最大的是7日,8日,9日三天
C. 由折线图能预测16日温度要低于
D. 由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数
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【题目】为了鼓励市民节约用电,某市实行“阶梯式”电价,将每户居民的月用电量分为二档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户,为了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年7月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)试估计该小区今年7月份用电量用不超过260元的户数;
(3)估计7月份该市居民用户的平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
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【题目】已知直线方程为,其中
(1)求证:直线恒过定点;
(2)当变化时,求点到直线的距离的最大值;
(3)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点,求面积的最小值及此时的直线方程.
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【题目】已知为抛物线上的两个动点,点在第一象限,点在第四象限,分别过点且与抛物线相切,为的交点.
(Ⅰ)若直线过抛物线的焦点,求证动点在一条定直线上,并求此直线方程;
(Ⅱ)设为直线与直线的交点,求面积的最小值.
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