Question

【题目】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．
（1）证明：B1C1⊥平面BDE；
（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意，BD=BC= ，

∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，则BC⊥BD．

又∵ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴BC⊥DE，

∵BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE，

又∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面BDE

（2）解：如图建立空间直角坐标系，

则有B（1，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（0，0，1）．

， ．

设平面BEC1 的法向量为 ，

由 ，得 ，取x=3，得 ．

由（1）知，平面BDE的一个法向量 ．

∴cos＜ ＞= = ．

由图可知，二面角D﹣BE﹣C1为钝角，

∴二面角D﹣BE﹣C1的大小为arccos（﹣ ）

【解析】（1）由题意证明BC⊥BD，再由已知ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，得BC⊥DE，由线面垂直的判定可得BC⊥平面BDE，进一步得到B1C1⊥平面BDE；（2）如图建立空间直角坐标系，由已知求出B，C，C1 ， E的坐标，进一步求出平面BEC1 与平面BDE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣BE﹣C1的大小．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．