精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
使得函数f(x)=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
(a≤x≤b)
的值域为[a,b](a<b)的实数对(a,b)有(  )对.
分析:按照b≤2,a≥2,a<2<b三种情况讨论函数的最值,令其最小值为a,最大值为b,解出方程组即可得到答案.
解答:解:f(x)=
1
5
(x-2)2-
11
5

①当b≤2时,f(x)在[a,b]上递减,
则f(a)=b,f(b)=a,即
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=b
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=a
,解得
a=-2
b=1
a=1
b=-2
(舍);
②当a≥2时,f(x)在[a,b]上递增,
则f(a)=a,f(b)=b,即
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b
,解得a=
109
2
,b=
109
2
,又2≤a<b,所以无解;
③当a<2<b时,f(2)=a,即a=-
11
5

而f(a)=f(-
11
5
)=
166
125
,f(b)=
1
5
b2-
4
5
b-
7
5

若f(a)>f(b),则f(a)=
166
125
=b,与b>2矛盾;
若f(a)<f(b),则f(b)=b,即
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b,解得b=
9+
109
2
9-
109
2
(舍),
此时a=-
11
5
,b=
9+
109
2

综上,满足条件的实数对(a,b)有两个,
故选B.
点评:本题考查二次函数在闭区间上的最值求解,考查分类讨论思想,考查学生解决问题的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=(1+
1
n
)x
(n∈N,且n>1,x∈N).
(Ⅰ)当x=6时,求(1+
1
n
)x
的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明
f(2x)+f(2)
2
>f'(x)(f'(x)是f(x)的导函数);
(Ⅲ)是否存在a∈N,使得an<
n
k-1
(1+
1
k
)
<(a+1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若实数a∈(1,2),则使得函数f(x)=
1
2
x2-ax+(a-1)lnx
单调递减的一个区间是(  )
A、(1,+∞)
B、(0,a-1)
C、(0,1)
D、(a-1,1)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=1-
22x+t
(t是常实数).
(1)若函数的定义为R,求y=f(x)的值域;
(2)若存在实数t使得y=f(x)是奇函数,证明y=f(x)的图象在g(x)=2x+1-1图象的下方.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2006•东城区一模)已知函数f(x)=|1-
1x
|, (x>0)

(1)当0<a<b且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;
(2)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在集合D上的函数y=f(x),若f(x)在D上具有单调性且存在区间[a,b]⊆D(其中a<b)使当x∈[a,b]时,f(x)的值域是[a,b],则称函数f(x)是D上的“正函数”,区间[a,b]称为f(x)的“等域区间”.
(1)已知函数f(x)=x3是正函数,试求f(x)的所有等域区间;
(2)若g(x)=
x+2
+k
是正函数,试求实数k的取值范围;
(3)是否存在实数a,b(a<b<1)使得函数f(x)=|1-
1
x
|
是[a,b]上的“正函数”?若存在,求出区间[a,b],若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案