Question

已知函数f（x）=x³-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点，则a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：先对函数f（x）求导，得出极值点及极值、单调区间，并求出其零点，根据以上结论画出图象，进而得到答案．
解答：解：∵函数f（x）=x³-3x，∴f^′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
∴当x∈（-∞，-1）或（1，+∞）时，f^′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（-∞，-1）或（1，+∞）上单调递增；
当x∈（-1，1）时，f^′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（-1，1）上单调递减．
又f（x）=0，解得x=0，±．
根据以上画出图象．
若函数f（x）=x³-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点，则a必须满足f（x）_min＜y＜f（x）_max，∴-2＜a＜2．
所以a的取值范围是-2＜a＜2．
故答案 为-2＜a＜2．
点评：熟练利用导数得到极值及单调性是解题的关键．