【题目】已知椭圆的右顶点为,左焦点为,离心率,过点的直线与椭圆交于另一个点,且点在轴上的射影恰好为点,若.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过圆上任意一点作圆的切线与椭圆交于,两点,以为直径的圆是否过定点,如过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)以为直径的圆恒过坐标原点.
【解析】
(1)先根据离心率得,,再根据点B在椭圆上得B点纵坐标,最后根据三角形面积公式解得,即得,(2)先考虑直线的斜率不存在情况,确定定点,再利用韦达定理以及向量数量积论证圆过坐标原点.
(1)∵,∴,,
设,代人椭圆方程得: ,
∴ ,
∴,
∴,
∴,
∴椭圆的标准方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,以为直径的圆的圆心为或,半径为2,
以为直径的圆的标准方程为: 或,
因为两圆都过坐标原点,∴以为直径的圆过坐标原点,
当直线的斜率存在时,设其方程为,,,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,
,
所以,
由,
化简得:,
∴,,
∴
,
∴以为直径的圆过坐标原点,
综上,以为直径的圆恒过坐标原点.
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【题目】为选拔A,B两名选手参加某项比赛,在选拔测试期间,他们参加选拔的5次测试成绩(满分100分)记录如下:
(1)从A,B两人的成绩中各随机抽取一个,求B的成绩比A低的概率;
(2)从统计学的角度考虑,你认为选派哪位选手参加比赛更合适?说明理由.
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【题目】已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆E上,∠F1AF2=60°,△F1AF2的面积为4.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆E分别交于P,Q两点,证明:点O到直线PQ的距离为定值,并求出这个定值.
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【题目】已知四棱锥的底面是菱形,,底面,是上的任意一点.
(1)求证:平面平面;
(2)设,是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为?如果存在,求出点的位置,如果不存在,请说明理由.
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【题目】某社区为了解居民参加体育锻炼情况,随机抽取18名男性居民,12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类:甲类(不参加体育锻炼),乙类(参加体育锻炼,但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时),丙类(参加体育锻炼,且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时),调查结果如下表:
(1)根据表中的统计数据,完成下面列联表,并判断是否有的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?
(2)从抽出的女性居民中再随机抽取2人进一步了解情况,求所抽取的2人中乙类,丙类各有1人的概率.
附:
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【题目】设椭圆的离心率为,圆与轴正半轴交于点, 圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、,求证:为定值.
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【题目】已知数列{an}的首项为1,若对任意的n∈N*,数列{an}满足an+1﹣3an<2,则称数列{an}具有性质L.
(Ⅰ)判断下面两个数列是否具有性质L:
①1,3,5,7,9,…;
②1,4,16,64,256,…;
(Ⅱ)若{an}是等差数列且具有性质L,其前n项和Sn满足Sn<2n2+2n(n∈N*),求数列{an}的公差d的取值范围;
(Ⅲ)若{an}是公比为正整数的等比数列且具有性质L,设bn=an(n∈N*),且数列{bn}不具有性质L,求数列{an}的通项公式.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E,F,O分别为DC,AE,BC的中点.以AE为折痕把△ADE折起,使点D到达点P的位置,且平面PAE⊥平面ABCE(如图2).
(Ⅰ)求证:BC⊥平面POF;
(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段PE上是否存在点M,使得AM∥平面PBC?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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