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抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点(P、A、B三点互不相同)且满足k2+λk1=0(λ≠0且
λ≠-1),
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上;
(Ⅲ)当λ=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围。
(Ⅰ)解:由抛物线C的方程,得焦点坐标为,准线方程为
(Ⅱ)证明:设直线PA的方程为
直线PB的方程为
的坐标是方程组的解,
将②式代入①式得=0,
于是,③
又点的坐标是方程组的解,
将⑤式代入④式得
由已知得,, ⑥
设点M的坐标为

将③式和⑥式代入上式得,即
所以线段PM的中点在y轴上。
(Ⅲ)解:因为点P(1,-1)在抛物线上,所以a=-1,
抛物线的方程为
由③式知
将λ=1代入⑥式得
因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

于是

因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同,
故必有
求得k1的取值范围为
又点A的纵坐标y1满足
故当;当
所以∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为
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抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足
BM
MA
,证明线段PM的中点在y轴上;
(Ⅲ)当λ=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.

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(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足
BM
MA
,证明线段PM的中点在y轴上.

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