Question

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．

（1）求证：平面EFGH；
（2）求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

（1）要证明线面平行，则要根据题意，得到线线平行，即EH∥BD。
（2）证明一个四边形是矩形，首先确定是平行四边形，再证明一个角是直角来得到。

试题分析：证明：（1）∵E，H分别为AB， DA的中点．
∴EH∥BD，又平面EFGH，平面EFGH,
平面EFGH；……4分
(2)取BD中点O，连续OA，OC．
∵ AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC．
∴BD⊥AC．                   ……7分
∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．
∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．
∴EH∥FG，且EH=FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．……10分
由（2）可知AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD．
∴EF⊥EH．
∴四边形EFGH为矩形．   ……12分
点评：主要是考查了空间中线面平行的证明，以及关于平面四边形的形状的确定，属于基础题。