Question

（2013•盐城三模）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=

.

1 a b 1

.

对应的变换将点A（1，1）变为A′（0，2），将曲线C：xy=1变为曲线C′．
（1）求实数a，b的值；
（2）求曲线C′的方程．

Answer 1

分析：（1）先根据矩阵M对应的变换将点A（1，1）变为A′（0，2），建立二元一次方程组求出实数a，b的值；
（2）由（1）得矩阵M，然后设曲线C：xy=1上的任意一点P（x'，y'），变换后的点为P'（x，y）的关系，将点P（x'，y'）的坐标代入曲线C：xy=1的方程即可求出曲线C′的方程．

解答：解：（1）由已知得M

1′ 1′

=

0′ 2′

，即

1 a b 1

1′ 1′

=

0′ 2′

，∴

1+a=0 b+1=2

∴

a=-1 b=1

．
（2）设点P（x'，y'）是曲线C：xy=1上的任意一点，变换后的点为P'（x，y）
则

1 -1 1 1

x′′ y′′

=

x′ y′

，即

x′-y′=x x′+y′=y

，解得

x′= x+y 2 y′= y-x 2

，
因为x′y′=1，所以

y+x

2

×

y-x

2

=1，即

y2

4

-

x2

4

=1．即曲线C′的方程为

y2

4

-

x2

4

=1．

点评：本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．