Question

19．已知a＞0，a≠1，命题p：函数y=log_ax在（0，+∞）内单调递减，q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同两点．
（Ⅰ）若命题p，q均是真命题，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的性质分别求出命题的等价条件即可．
（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，则p，q有且只有一个为真命题，进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数y=log_ax在（0，+∞）内单调递减，
∴命题p为真时?0＜a＜1…（2分）
当命题q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足
△=（2a-3）²-4＞0⇒$0＜a＜\frac{1}{2}$或$a＞\frac{5}{2}$…（4分）
（Ⅱ）由“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，知p，q有且只有一个为真命题．…（6分）
①当p真q假$?\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$⇒$a∈[\frac{1}{2}，1）$…（9分）
②当p假q真$?\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{0＜a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，⇒$a∈（\frac{5}{2}，+∞）$…（12分）
综上所述，a取值范围是$[\frac{1}{2}，1）∪（\frac{5}{2}，+∞）$…（14分）

点评 本题以函数的单调性和二次函数零点的问题为载体，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．