Question

（理）（1）求证：当a＞2时，

a+2

+

a-2

＜2

a

；
（2）已知x∈R，a=x²+

1

2

，b=2-x，c=x²-x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：（1）利用分析法，即可证明；
（2）根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得a+b+c＜3，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．

解答： 证明：（1）当a＞2时，要证

a+2

+

a-2

＜2

a

成立．
只需证(

a+2

+

a-2

)2＜(2

a

)2．（2分）．
即证

a2-4

＜a．
也就是证明a²-4＜a²．
即只需证-4＜0．（4分）．
由于-4＜0显然成立，则原不等式成立．（5分）
（2）假设a，b，c没有一个不小于1，也即a＞1，b＞1，c＞1．则有a+b+c＜3．（7分）．
将a，b，c带入得a+b+c=x²+

1

2

+2-x+x²-x+1=2(x-

1

2

)2+3≥3．（9分）
与a+b+c＜3矛盾．
则原命题成立．（10分）

点评：本题考查反证法的运用，注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定．