Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图可得A，由周期可得ω，再代入点的坐标可得φ值，可得解析式；
（Ⅱ）解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数的单调增区间为；
（Ⅲ）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，结合三角函数的图象可得最值．

解答 解：（Ⅰ）由图可知A=1，周期T=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=π，∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（$\frac{7π}{12}$，-1）可得-1=sin（$\frac{7π}{6}$+φ），
∴$\frac{7π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，∴φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴当k=0时，φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴函数y=f（x）的单调增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（Ⅲ）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
当$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值2；
当$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴f（x）的值域为[$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，2]．

点评 本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数的单调性和值域，属中档题．