【题目】设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【答案】
(1)解:因f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,故f′(x)=2a(x﹣5)+ ,(x>0),
令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6﹣8a,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣16a=(6﹣8a)(x﹣1),
由切线与y轴相交于点(0,6).
∴6﹣16a=8a﹣6,
∴a=
(2)解:由(I)得f(x)= (x﹣5)2+6lnx,(x>0),
f′(x)=(x﹣5)+ =
,令f′(x)=0,得x=2或x=3,
当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数,
当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数,
故f(x)在x=2时取得极大值f(2)= +6ln2,在x=3时取得极小值f(3)=2+6ln3
【解析】(1)先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)列出方程求a的值即可;(2)由(1)求出的原函数及其导函数,求出导函数的零点,把函数的定义域分段,判断导函数在各段内的符号,从而得到原函数的单调区间,根据在各区间内的单调性求出极值点,把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
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【题目】为了对某课题进行讨论研究,用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人)
高校 | 相关人数 | 抽取人数 |
A | x | 1 |
B | 36 | y |
C | 54 | 3 |
(1)求x、y;
(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言,应采用什么抽样法,请写出合理的抽样过程.
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【题目】在极坐标系下,已知曲线C1:ρ=cosθ+sinθ和曲线C2:ρsin(θ﹣ )=
.
(1)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求曲线C1和曲线C2公共点的一个极坐标.
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【题目】一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●的个数是( )
A.10
B.9
C.8
D.11
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【题目】已知函数f(x)=cos(2x-
),x∈R.
(1)求函数f(x)单调递减区间;
(2)求函数f(x)在区间[-,
]上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
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【题目】已知函数f(x)= ax2﹣lnx﹣2.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间.
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【题目】炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一些数据,如下表所示:
x/0.01% | 104 | 180 | 190 | 177 | 147 | 134 | 150 | 191 | 204 | 121 |
y/min | 100 | 200 | 210 | 185 | 155 | 135 | 170 | 205 | 235 | 125 |
(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗?
(2)求回归直线方程.
(3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多少分钟?
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