Question

已知函数，.
（1）若存在，使得，求a的取值范围；
（2）若有两个不同的实数解，证明：.

Answer 1

（1）(1，＋∞)；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数最值、恒成立问题等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将已知不等式进行转化，将所求的参数分离出来，构造新的函数，利用“单调递增，单调递减”判断函数的单调性，确定函数最值的位置，并求出函数的最值，代入到所转化的式子中即可；第二问，将方程的2个根分别代入到方程中，得到2个式子，2个式子作差，得到方程将a分离出来，对求导，将代入，将上述的a也代入，得到所求式子的左边，只需证明即可，通过变形，只需证明即可，构造新函数，所以利用导数求函数的最小值，判断，即.
试题解析：（1）当x∈(0，＋∞)时，f(x)＜0等价于．
令，则，
当x∈(0，1)时，g¢(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g¢(x)＞0．
g(x)有最小值g(1)＝1．           4分
故a的取值范围是(1，＋∞)．          5分
（2）因f(x)＝x，即x²－lnx＝(a＋1)x有两个不同的实数解u，v．
故u²－lnu＝(a＋1)u，v²－lnv＝(a＋1)v．
于是(u＋v)(u－v)－(lnu－lnv)＝(a＋1)(u－v)．      7分
由u－v＜0解得．
又，所以
．  9分
设，则当u∈(0，v)时，，
h(u)在(0，v)单调递增，h(u)＜h(v)＝0，
从而，因此．       12分