Question

北京市周边某工厂生产甲、乙两种产品．一天中，生产一吨甲产品、一吨乙产品所需要的煤、水以及产值如表所示：

	用煤（吨）	用水（吨）	产值（万元）
生产一吨甲种产品	5	3	10
生产一吨乙种产品	3	5	12

在APEC会议期间，为了减少空气污染和废水排放．北京市对该厂每天用煤和用水有所限制，每天用煤最多46吨，用水最多50吨．问该厂如何安排生产，才能是日产值最大？最大的产值是多少？

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨，建立目标函数和约束条件，利用线性规划进行求解即可．

解答： 解：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨．    …（1分）
依题意可得线性约束条件

5x+3y≤46 3x+5y≤50 x≥0，y≥0

…（4分）
目标函数为z=10x+12y，…（5分）
作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示
…（8分）
将z=10x+12y变形为y=-

5

6

x+

z

12

，

当直线y=-

5

6

x+

z

12

在纵轴上的截距

z

12

达到最大值时，…（9分）

即直线y=-

5

6

x+

z

12

经过点M时，z也达到最大值．…（10分）
由

5x+3y=46 3x+5y=50

 得M点的坐标为（5，7）…（12分）
所以当x=5，y=7时，z_max=5×10+7×12=134 …（13分）
因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元．…（14分）

点评：本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键．