Question

14．若函数y=x³-ax²+4在（1，3）内单调递减，则实数a的取值范围是$[\frac{9}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 对a进行讨论，判断f（x）的单调性求出f（x）的减区间，令（1，3）为减区间的子集即可得出a的范围．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax，
令f′（x）=0得x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
若$\frac{2a}{3}$≤0，即a≤0，则当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）上为增函数，不符合题意；
若$\frac{2a}{3}$＞0，即a＞0，则当1＜x＜$\frac{2a}{3}$时，f′（x）＜0，当x＞$\frac{2a}{3}$时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，$\frac{2a}{3}$）上单调递减，在（$\frac{2a}{3}$，+∞）上低调递增，
∵f（x）在（1，3）内单调递减，
∴3≤$\frac{2a}{3}$，解得a≥$\frac{9}{2}$．
故答案为：$[\frac{9}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．