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中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过C(2,2),且
CF1
CF2
=2

(1)求椭圆E的方程.
(2)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点,当以AB为直径的圆P与y轴相切时,求直线l的方程和圆P的方程.
分析:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),则
CF1
=(2+c,2),
CF2
=(2-c,2)
,由
CF1
CF2
=2
,知4-c2+4=2,即c2=6.由此能求出椭圆E的方程.
(2)依题意,直线OC斜率为1,由此设直线l的方程为y=-x+m,由
x2
12
+
y2
6
=1
y=-x+m
,得3x2-4mx+2m2-12=0,记A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
4m
3
x1x2=
2m2-12
3
,圆P的圆心为(
x1+x2
2
y1+y2
2
),半径r=
2
2
|x1-x2|
=
2
2
(x1+x2)2-4x1x2
,当圆P与y轴相切时,r=|
x1+x2
2
|,由此能求出直线l的方程和圆P的方程.
解答:解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),则
CF1
=(2+c,2),
CF2
=(2-c,2)

CF1
CF2
=2
,∴4-c2+4=2,
∴c2=6.
设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
a2-6
=1

把C(2,2)代入,得
4
a2
+
4
a2-6
=1

整理,得a4-14a2+24=0,
解得a2=12,或a2=2(舍)
∴椭圆E的方程为
x2
12
+
y2
6
=1

(2)依题意,直线OC斜率为1,由此设直线l的方程为y=-x+m,
x2
12
+
y2
6
=1
y=-x+m
,得3x2-4mx+2m2-12=0,
由△=16m2-12(2m2-12)=8(18-m2)>0,
得m2<18.
记A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
4m
3
x1x2=
2m2-12
3

圆P的圆心为(
x1+x2
2
y1+y2
2
),
半径r=
2
2
|x1-x2|
=
2
2
(x1+x2)2-4x1x2

当圆P与y轴相切时,r=|
x1+x2
2
|,
2x1x2=
(x1+x2)2
4

2(2m2-12)
3
=
4m2
9
,解得m2=9<18,
当m=3时,直线l方程为y=-x+3,
此时,x1+x2=4,圆心为(2,1),半径为2,
圆P的方程为(x-2)2+(y-1)2=4,
同理,当m=-3时,直线l方程为y=-x-3,
圆P的方程为(x+2)2+(y+1)2=4.
点评:本题考查直线方程、圆的方程和椭圆方程的求法,具体涉及到直线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆和圆的简单性质等基本知识.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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2
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3

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AF
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FC
|,|
CD
|,|
FD
|
成等差数列,且公差等于短轴长的
1
6

(1)求椭圆的离心率; 
(2)若△OAB的面积为20
2
,求椭圆的方程.

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2

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2
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2
2

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(II)若直线l过椭圆E的左焦点F,且与椭圆E交于A、B两点,若△OAB的面积为
2
3
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