Question

（2012•湘潭模拟）若x+2y+

3

z=1，则x²+y²+z²的最小值为

1

8

．

Answer 1

分析：根据柯西不等式可得[(12+22+(

3

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

3

z)2，由此可得结论．

解答：解：根据柯西不等式可得[(12+22+(

3

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

3

z)2
∵x+2y+

3

z=1
∴x²+y²+z²≥

1

8

当且仅当x=

y

2

=

z

3

时，x²+y²+z²的最小值为

1

8

故答案为：

1

8

点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．一般而言，“积和结构”或“平方和结构”越明显，则构造越容易，而对于“积和结构”或“平方和结构”不够明显的问题，则须将原问题作适当变形，使“积和结构”或“平方和结构”明显化，从而利用柯西不等式进行证明．