【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=60°,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD且PO=4,M为PD的中点.
(1)证明:MO∥平面PAB;
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)推导出O是BD中点,从而OM∥PB,由此能证明OM∥平面PAB.
(2)推导出四边形ABCD是菱形,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AM与平面ABCD所成角的正弦值.
(1)证明:∵底面ABCD是平行四边形,O为AC的中点,M为PD的中点.
∴O是BD中点,∴OM∥PB,
∵OM平面PAB,PB平面PAB,
∴OM∥平面PAB;
(2)解:在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,
∠ADC=60°,AD=AC=2,PO⊥平面ABCD且PO=4,
∴四边形ABCD是菱形,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
A(1,0,0),D(0,,0),P(0,0,4),M(0,,2),
(﹣1,,2),
平面ABCD的法向量(0,0,1),
设直线AM与平面ABCD所成角为θ,
则sinθ.
∴直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为.
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【题目】已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣3,0),B(2,1),C(﹣2,3),试求:
(1)边AC所在直线的方程;
(2)BC边上的中线AD所在直线的方程;
(3)BC边上的高AE所在直线的方程.
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【题目】珠海市某学校的研究性学习小组,对昼夜温差(最高温度与最低温度的差)大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行了研究,该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2)
已知绿豆种子出芽数(颗) 和温差具有线性相关关系.
(1)求绿豆种子出芽数 (颗)关于温差的回归方程;
(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为,估计4月7日浸泡的颗绿豆种子一天内的出芽数.
附:,.
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【题目】如图,在正方体中,是棱上动点,下列说法正确的是( )
A. 对任意动点,在平面内不存在与平面平行的直线
B. 对任意动点,在平面内存在与平面垂直的直线
C. 当点从运动到的过程中,与平面所成的角变大
D. 当点从运动到的过程中,点到平面的距离逐渐变小
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【题目】如图,已知、,、分别为的外心,重心,.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)是否存在过的直线交曲线于,两点且满足,若存在求出的方程,若不存在请说明理由.
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【题目】如图,已知四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成,其中∠BAC=∠BCD=90°,∠DBC=30°,AB=AC,,将△ABC沿着BC折起,
(1)若,求异面直线AB和CD所成角的余弦值;
(2)当四面体ABCD的体积最大时,求二面角A﹣BC﹣D的余弦值.
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【题目】顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
则最短交货期为_______个工作日.
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【题目】某工厂有工人1000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).
(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人?
(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.
表一
生产能力分组 | [100,110) | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150) |
人数 | 4 | 8 | 5 | 3 |
表二
生产能力分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150) |
人数 | 6 | 36 | 18 |
①先确定再补全下列频率分布直方图(用阴影部分表示).
②就生产能力而言,类工人中个体间的差异程度与类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)
③分别估计类工人生产能力的平均数和中位数(求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
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