Question

【题目】已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．

(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；

(Ⅱ)设P(2，0)，过椭圆E左焦点F的直线l交E于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式 ≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ＋y2＝1(Ⅱ)

【解析】试题分析：（1）设椭圆方程，由a=b，a2=b2+1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程的标准方程；

（2）由向量数量积的坐标运算求得，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，及函数的最值即可求得的最小值，即可求得λ的最小值．

试题解析：

(Ⅰ)依题意，a＝b，c＝1，

解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则·＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2，

当直线l垂直于x轴时，x1＝x2＝－1，y1＝－y2且y＝，

此时＝(－3，y1)，＝(－3，y2)＝(－3，－y1)，

所以·＝(－3)2－y＝；

当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y＝k(x＋1)，

由整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以·＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2(x1＋1)(x2＋1)

＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2＝(1＋k2)·－(k2－2)·＋4＋k2

＝＝－<.

要使不等式·≤λ(λ∈R)恒成立，只需λ≥(·)max＝，即λ的最小值为.