Question

已知实数x，y满足不等式组

x+3y-3≥0 2x-y-3≤0 x-y+1≥0

，则

y-1

x+1

的取值范围是

[-

4

19

，

4

5

]

．

Answer 1

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即动点（x，y）到定点（-1，1）斜率的取值范围，然后利用斜率公式求解即可．

解答：解：设z=

y-1

x+1

，则z的几何意义为动点（x，y）到定点A（-1，1）斜率的取值范围，
作出不等式对应的可行域（阴影部分），
由图象可知过AC两点的斜率最大，过AB两点的斜率最小．
由

x-y+1=0 2x-y-3=0

，解得

x=4 y=5

，即C（4，5），此时过A，C的直线斜率k=

5-1

4-(-1)

=

4

5

．
由

x+3y-3=0 2x-y-3=0

，解得

x= 12 7 y= 3 7

，即B（

12

7

，

3

7

），此时过A，B的直线斜率k=

3 7 -1

12 7 -(-1)

=

3-7

12+7

=-

4

19

．
∴-

4

19

≤z≤

4

5

，
即

y-1

x+1

的取值范围是[-

4

19

，

4

5

]．
故答案为：[-

4

19

，

4

5

]．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．