Question

18．已知命题p：方程（ax+2）（ax-1）=0在[-1，1]上有解； 命题q：x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立．若命题p是真命题，命题q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p为真，推出a|≥1即a≥1或a≤-1，对于命题q，推出|x₁-x₂|的最大值等于3．利用a²-5a-3≥3解得 a≥6或a≤-1，利用命题p是真命题，命题q为假命题，求解即可．

解答 解：若命题p为真，可知（ax+2）（ax-1）=0，显然a≠0，
∴$x=-\frac{2}{a}$或$x=\frac{1}{a}$
∵x∈[-1，1]故有$|{-\frac{2}{a}}|≤1$或$|{\frac{1}{a}}|≤1$，
∴|a|≥1即a≥1或a≤-1…（5分）
对于命题q，∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=-2，∴$|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{{m^2}+8}$
又m∈[-1，1]，故|x₁-x₂|的最大值等于3．由题意得：a²-5a-3≥3
解得 a≥6或a≤-1故命题q为真，a≥6或a≤-1…（10分）
命题p是真命题，命题q为假命题，则$\left\{{\begin{array}{l}{a≥1或a≤-1}\\{-1＜a＜6}\end{array}}\right.$，
实数a的取值范围为 1≤a＜6…（12分）

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．