Question

设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E．求证：CD•EF+DF•AE=BD•AF．

Answer 1

分析：要证CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需证明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）；先设AF的延长线交⊙BDF于K，通过证得两个三角形相似：△AEF～△AKB，得到一个比例式．又注意到∠KBD=∠KFD=∠C，利用两个三角形△ABD和△ADK的面积公式，最后只须证明S_△ABD=S_△DCK+S_△ADK也就是要证S_△ABC=S_△AKC?BK∥AC（4），事实上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，从而问题解决．

解答：证明：设AF的延长线交⊙BDF于K，
∵∠AEF=∠AKB，
∴△AEF～△AKB，因此

EF

AF

=

BK

AB

，

AE

AF

=

AK

AB

．
于是要证CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需证明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）
又注意到∠KBD=∠KFD=∠C．
我们有S△DCK=

1

2

CD•BK•sin∠C
进一步有

S△ABD= 1 2 BD•AB•sin∠C S△ADK= 1 2 AK•DF•sin∠C

因此要证（2），只需证明S_△ABD=S_△DCK+S_△ADK（3）
而（3）?S_△ABC=S_△AKC?BK∥AC（4）
事实上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，得证．

点评：此题主要考查的是与圆有关的比例线段、相似三角形的性质、三角形的面积公式，考查转化思想．正确的作出辅助线得到相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．属于基础题．