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已知平面内与两定点A(2,0),B(-2,0)连线的斜率之积等于的点P的轨迹为曲线C1,椭圆C2以坐标原点为中心,焦点在y轴上,离心率为
(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)若曲线C1与C2交于M、N、P、Q四点,当四边形MNPQ面积最大时,求椭圆C2的方程及此四边形的最大面积.
【答案】分析:(Ⅰ)设动点坐标为(x,y),利用平面内与两定点A(2,0),B(-2,0)连线的斜率之积等于,建立方程,化简可得结论;
(Ⅱ)椭圆C2以坐标原点为中心,焦点在y轴上,离心率为,则可设方程为(a>0),与C1的方程联立,即可求得四边形的面积,利用配方法,即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)设动点坐标为(x,y),则由题意可得,即(x≠±2)
∴C1的方程为(x≠±2);
(Ⅱ)椭圆C2以坐标原点为中心,焦点在y轴上,离心率为,则可设方程为(a>0)
可得
∴四边形MNPQ面积为4=2
∴a2=3时,四边形MNPQ面积最大为4,此时椭圆C2的方程为
点评:本题考查轨迹方程,考查四边形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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