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5.二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时取等号.
(1)证明二维形式的柯西不等式;
(2)利用柯西不等式,求函数y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值.

分析 (1)用作差比较法证明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立.
(2)利用柯西不等式求得y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$=3$\sqrt{x-1}$+2$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{(9+4)(x-1+5-x)}$=2$\sqrt{13}$,可得函数y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值.

解答 (1)证明:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 =a2d2-2adbc+b2c2=(ad-bc)2≥0,
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立,当且仅当ad=bc时取得等号.
(2)解:y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$=3$\sqrt{x-1}$+2$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{(9+4)(x-1+5-x)}$=2$\sqrt{13}$,
∴函数y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值为2$\sqrt{13}$.

点评 本题主要考查用作差比较法证明不等式,柯西不等式的应用,属于基础题.

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