Question

5．二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，当且仅当ad=bc时取等号．
（1）证明二维形式的柯西不等式；
（2）利用柯西不等式，求函数y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）用作差比较法证明（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²成立．
（2）利用柯西不等式求得y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$=3$\sqrt{x-1}$+2$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{（9+4）（x-1+5-x）}$=2$\sqrt{13}$，可得函数y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值．

解答 （1）证明：∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）² =a²d²-2adbc+b²c²=（ad-bc）²≥0，
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²成立，当且仅当ad=bc时取得等号．
（2）解：y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$=3$\sqrt{x-1}$+2$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{（9+4）（x-1+5-x）}$=2$\sqrt{13}$，
∴函数y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值为2$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查用作差比较法证明不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．