Question

解方程组

y2-4x-2y+1=0…① y=x+a…②

并讨论a取哪些实数时，方程组
（1）有不同的两实数解；
（2）有相同的两实数解；
（3）没有实数解．

Answer 1

分析：（1）将第二个方程代入第一个方程得到关于y的二次方程，利用二次方程的求根公式求出两个根，将求出的根代入第二个方程求出方程组的解．
（2）由（1）当通过代入消元得到的二次方程有两个不等实根即判别式大于0时，方程组有两个实数解；当判别式等于0时，方程组有相等的两实数解；
（3）当判别式小于0时，方程组无解．

解答：解：由②得x=y-a③
将③代入①得y²-4（（y-a）-2y+1=0，
y²-6y（4a+1）=0，
y=

6± 36-4(4a+1)

2

=3±2

2-a

，
x=3±2

2-a

-a．
即方程组的解为

x1=3+2 2-a -a y1=3+2 2-a ：

x2=3-2 2-a -a y2=3+-2 2-a

即：（1）当2-a＞0，即a＜2时，方程组有不同的两实数解；
（2）当2-a=0，即a=2时，方程组有相同的两实数解；
（3）当2-a＜0，即a＞2时，方程组没有实数解．

点评：本题考查代入消元求方程组组的解的方法、考查将方程组的解的问题转化为二次方程解的问题．