Question

若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为．
（1）设，求的取值范围；
（2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程．

Answer 1

（1）（2）

方程的两根在区间和上的几何意义是：函数
与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组
，即，则在坐标平面内，点对应的区域如图阴影部分所示，易得图中三点的坐标分别为
，．．．．．．4分
（1）令，则直线经过点时
取得最小值，经过点时取得最大值，即，
又三点的值没有取到，所以；．．．．．．8分
（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知
可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即．．．．．．．12分