Question

已知（3x+y）²⁰⁰¹+x²⁰⁰¹+4x+y=0，则4x+y的值为________..

Answer 1

0
分析：结合条件（3x+y）²⁰⁰¹+x²⁰⁰¹+4x+y=0和要求的结论（4x+y的值）可将条件等价变形为（3x+y）²⁰⁰¹+（3x+y）+x²⁰⁰¹+x=0，故可构造函数f（x）=x²⁰⁰¹+x即可将条件等价变形为f（3x+y）+f（x）=0再结合f（x）的单调性和奇偶性即可解题．
解答：构造函数f（x）=x²⁰⁰¹+x，则（3x+y）²⁰⁰¹+（3x+y）+x²⁰⁰¹+x=0
∴f（3x+y）+f（x）=0
∵f（-x）=-（x²⁰⁰¹+x）=-f（x）且定义域为R关于原点对称
∴f（x）的奇函数
∴f（3x+y）=f（-x）
又易得f（x）=x²⁰⁰¹+x为R上的单调递增函数
∴3x+y=-x
∴4x+y=0
故答案为0
点评：本题主要考查了函数的单调性和奇偶性．解题的关键是要构造函数f（x）=x²⁰⁰¹+x否则此题很难求解．