Question

13．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面成60°角，点B₁在底面上的射影D为BC的中点，BC=2，二面角A-BB₁-C为30°（如图）．
（1）求证：平面BCC₁B₁⊥平面ABC；
（2）求证：AC⊥面BCC₁B₁；
（3）求多面体A-BCC₁B₁的体积V；
（4）求AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正切．

Answer 1

分析 （1）由已知得AC⊥B₁D，AC⊥BC，从而AC⊥面BCC₁B₁，由此能证明平面BCC₁B₁⊥平面ABC．
（2）由射影性质得AC⊥B₁D，由直角性质得AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCC₁B₁．
（3）取BB₁中点E，连结CE、AE，则CE⊥BB₁，∠AEC是二面角A-BB₁-C的平面角，从而求出AC=1，由此能求出多面体A-BCC₁B₁的体积．
（4）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过C垂直于平南ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正切值．

解答 （1）证明：∵点B₁在底面上的射影D为BC的中点，
∴B₁D⊥底面ABC，又AC?面ABC，∴AC⊥B₁D，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵BC∩B₁D=D，∴AC⊥面BCC₁B₁，
∵AC?平面ABC，
∴平面BCC₁B₁⊥平面ABC．
（2）证明：：∵点B₁在底面上的射影D为BC的中点，
∴B₁D⊥底面ABC，又AC?面ABC，∴AC⊥B₁D，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵BC∩B₁D=D，∴AC⊥面BCC₁B₁．
（3）解：斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面成60°角，
点B₁在底面上的射影D为BC的中点，BC=2，
∴∠B₁BD=60°，∴△BB₁C是边长为2的等边三角形，BD=1，BB₁=2，B₁D=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{四边形BC{C}_{1}{B}_{1}}$=BC×B₁D=2$\sqrt{3}$，
取BB₁中点E，连结CE、AE，则CE⊥BB₁，由三垂线定理得AE⊥BB₁，
∴∠AEC是二面角A-BB₁-C的平面角，
∵二面角A-BB₁-C为30°，∴∠AEC=30°，
∵△BB₁C是边长为2的等边三角形，∴CE=$\sqrt{3}$，∴AC=1，
∴多面体A-BCC₁B₁的体积V=$\frac{1}{3}×AC×{S}_{四边形BC{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×1×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（4）解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过C垂直于平南ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，1，0），B₁（1，0，$\sqrt{3}$），C（0，0，0），${C}_{1}（-1，0，\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
设平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
设AB₁与平面ACC₁A₁所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}×2}$|=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．