Question

我们可以证明：已知sinθ=t（|t|≤1），则sin

θ

2

至多有4个不同的值．
（1）当t=

3

2

时，写出sin

θ

2

的所有可能值；
（2）设实数t由等式log

1

2

2(t+1)+a•log

1

2

(t+1)+b=0确定，若sin

θ

2

总共有7个不同的值，求常数a、b的取值情况．

Answer 1

分析：（1）由t的值得到sinθ的值，然后利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，再利用二倍角的余弦函数公式即可求出sin

θ

2

所有可能的值；
（2）利用换元的思想，设u=log

1

2

(t+1)，把原方程化为关于u的方程，要使sin

θ

2

有七个不同的值，必须sinθ有两个不同的值，根据正弦函数的值域，可求出t的两个解，一个为0，另一个解的范围为（-1，0）∪（0，1），进而求出此时a与b的取值范围．

解答：解：（1）由题意得：sinθ=

3

2

⇒cosθ=±

1

2

，
∴1-2sin²

θ

2

=

1

2

或1-2sin²

θ

2

=-

1

2

，
解得：sin

θ

2

=

3

2

或sin

θ

2

=-

3

2

或sin

θ

2

=

1

2

或sin

θ

2

=-

1

2

；
（2）令u=log

1

2

(t+1)，原方程变为u²+au+b=0，
要使sin

θ

2

有七个不同的值，必须sinθ有两个不同的值，且t₁=0，t₂∈（-1，0）∪（0，1），
从而b=0，a∈（-∞，0）∪（0，1），
此时，u1=log

1

2

(t1+1)=0，u2=log

1

2

(t2+1)∈(-1，0)∪(0，+∞)．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的定义域及值域，利用了换元的思想，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．