Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式．请指出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用题设中所给的恒等式进行变换，先得到S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．与已知中S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．作差整理即可得到证明；
（2）由（1）S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．变形可得S_n+1-（n+1）+90=

5

6

（S_n-n+90），此是一等比数列，求出它的通项则可以得到数列{S_n}的通项公式，对数列的相邻两项作差，研究其单调性即可得出S_n取得最小值时的n是1

解答：解：（1）∵S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
∴S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．
两式作差得a_n+1=1-5a_n+1+5a_n，即6（a_n+1-1）=5（a_n-1），即（a_n+1-1）=

5

6

（a_n-1），n∈N^*．
故{a_n-1}是等比数列
（2）由（1）S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．得S_n+1=n+1-5（S_n+1-S_n）-85，n∈N^*．
得6S_n+1=n+5S_n-84，即6[S_n+1-（n+1）]=5（S_n-n）-90，
即S_n+1-（n+1）=

5

6

（S_n-n）-15
整理得S_n+1-（n+1）+90=

5

6

（S_n-n+90）
故{S_n-n+90}是一个等比数列，其公比为

5

6

，由于a₁=1-5a₁-85，得a₁=-14
故{S_n-n+90}的首项为-14-1+90=75
故S_n-n+90=75×(

5

6

)n-1，即S_n=n-90+75×(

5

6

)n-1，
由于S_n+1-S_n=1-

75

6

×(

5

6

)n-1，令S_n+1-S_n＞0，对n赋值验证知n＞15时成立，即S_n其最小值是S₁₅

点评：本题考查等比关系的确定，求解本题的关键是根据题设中所给的恒成立的方程灵活变形得出形式为公比的形式，故此类题虽然比较抽象，但也有其规律可循，即变形的目标相对确定，解对本题要注意对数列的函数的特性的研究方法即对相邻两项作差确定其单调性，从而求了最小值，此方法不易引起初学者注意，切记．