Question

19．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是AB的中点，证明：
（1）BC₁∥平面CDA₁；
（2）平面ABB₁A₁⊥平面CDA₁．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁交A₁C于点G，连接DG，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，则AG=GC₁，而AD=DB，则DG∥BC₁，DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，根据线面平行的判定定理可知BC₁∥平面A₁DC；
（2）由正三棱柱的结构特征可知平面ABB₁A₁⊥平面ABC，再由D为AB的中点，得CD⊥AB，则CD⊥平面ABB₁A₁，由平面与平面垂直的判定得答案．

解答 证明：（1）连接AC₁交A₁C于点G，连接DG，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴AG=GC₁，
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC；
（2）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，则CD⊥平面ABB₁A₁，
而CD?平面ABC，
∴平面ABB₁A₁⊥平面CDA₁．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了平面与平面垂直的判断，考查学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．