Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、

  3

  3

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：先求出点A₁到底面的距离A₁D的长度，即知点B₁到底面的距离B₁E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB₁中求AB₁与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．

解答：解：由题意不妨令棱长为2，如图，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，故DA=

2 3

3

，
由勾股定理得A₁D=

4- 4 3

=

2 6

3

故B₁E=

2 6

3

，如图作A₁S⊥AB于中点S，
易得A₁S=

3

，所以AB₁=

( 3 )2+( 3)2

=2

3

，
所以AB₁与底面ABC所成角的正弦值sin∠B₁AE=

2 6 3

2 3

=

2

3

．
故选B．

点评：本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．