Question

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x₀∈D，使得当x∈D且x＞x₀时，总有

|f(x)-h(x)|＜m |g(x)-h(x)|＜m

，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“公共渐近线”，给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：
①f（x）=2^-x+3，g（x）=

3x+1

x

；
②f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

x2-1

；
③f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x）；
④f（x）=log₂x，g（x）=2^x．
其中曲线y=f（x）与y=g（x）存在“公共渐近线”的是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

考点：一次函数的性质与图象

专题：压轴题,函数的性质及应用

分析：f（x）和g（x）存在公共渐近线的充要条件是x→+∞时，f（x）-g（x）→0，据此逐项检验即可．

解答： 解：f（x）和g（x）存在公共渐近线的充要条件是x→+∞时，f（x）-g（x）→0．
对于①f（x）=2^-x+3，g（x）=

3x+1

x

，f（x）-g（x）=2^-x+3-

3x+1

x

=2^-x-

1

x

，当x→+∞时f（x）-g（x）→0，所以①存在公共渐近线；
对于②f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

x2-1

，f（x）-g（x）=

1

x+ x2-1

+

1

x

，当x→+∞时，f（x）-g（x）→0，∴②存在公共渐近线．
对于③f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x），当x→0时，f（x）-g（x）=

2x2

x+1

-2（x-1-e^-x）=

-2

1+ 1 x

+2+

2

ex

→0，因此③存在公共渐近线．
对于④log₂x，g（x）=2^x，由图象可知不存在公共渐近线；
存在公共渐近线的是①②③，
故选A．

点评：本题从大学函数极限定义的角度出发，仿造构造了公共渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在公共渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）-g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目