Question

已知函数f（x）=log_a（x+2），
（1）若函数f（x）的图象经过M（7，2）点求a的值；
（2）若a=3，x∈（1，25]，求值域，并解关于x的不等式f（x）≤-1．
（3）函数f（x）的反函数过定点P求P点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=log_a（x+2）经过M（7，2），将点的坐标代入得一个等式，解此等式即可求得结果；
（2）要求函数f（x）的值域，根据对数函数的单调性即可求得结果，解不等式也是依据单调性．
（3）利用函数f（x）=log_a（x+2）的图象经过点（-1，0）可知点（0，-1）在函数f（x）=log_a（x+2）的反函数的图象上．

解答：解：（1）函数f（x）的图象经过M（7，2）点
则有log_a（7+2）=2，
解得：a=3，
（2）若a=3，函数f（x）=log₃（x+2），当x∈（1，25]时，
3＜x+2≤27，∴1＜log₃（x+2）≤3，即y∈（1，3]，
所以函数f（x）的值域为（1，3]．
又不等式f（x）≤-1?不等式log₃（x+2）≤log₃

1

3

?0＜x+2≤

1

3

⇒-2＜x≤-

5

3

．
∴不等式的解为：-2＜x≤-

5

3

．
（3）函数f（x）=log_a（x+2），当x=-1时，y=0，
依题意，点（-1，0）在函数f（x）=log_a（x+2）的图象上，
则点（0，-1）在函数f（x）=log_a（x+2）的反函数的图象上
那么P点的坐标为（0，-1）．

点评：此题是基础题．考查对数函数图象与性质的综合应用、反函数等，体现了转化的思想，同时考查了运算能力．