Question

13．如图，在四棱锥A-BCDE中，侧面ABC为正三角形，DC=BC=2BE，BE∥CD，DC⊥BC，且侧面ABC⊥底面BCDE，P为AD的中点．
（Ⅰ）证明：PE∥平面ABC；
（Ⅱ）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求二面角P-CE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点O，推导出四边形OPEB是平行四边形，从而PE∥OB，由此能证明PE∥平面ABC．
（Ⅱ）推导出DC⊥OB，OB⊥AC，从而OB⊥面ACD，进而PE⊥面ACD，由此能证明平面ADE⊥平面ACD．
（Ⅲ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-CE-B的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AC中点O，OP∥CD，OP=$\frac{1}{2}CD$，
∵OP∥BE，OP=BE，∴四边形OPEB是平行四边形，
∴PE∥OB，
∵PE?平面平面ABC，OB?平面ABC，
∴PE∥平面ABC．
（Ⅱ）∵DC⊥BC，且面ABC⊥面BCDE，
∴DC⊥面ABC，∵BO?面ABC，∴DC⊥OB，
∵OB⊥AC，又AC∩DC=C，∴OB⊥面ACD，
∵PE∥OB，∴PE⊥面ACD，
∵PE?ADE，∴平面ADE⊥平面ACD．
解：（Ⅲ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，1），C（-1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，$\sqrt{3}$，1），
设平面PCE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{PE}$=（0，$\sqrt{3}，0$），$\overrightarrow{CP}$=（1，0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设平面BCE的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{BC}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-a-\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=c=0}\end{array}\right.$，取a=-$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
设二面角P-CE-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴二面角P-CE-B的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．