Question

5．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求证；BC⊥平面PAC．
（2）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；
（2）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．

解答 解：（1）证明：∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，又PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC．
（2）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．
这时，∠AEP=90°，
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．

点评 考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．