Question

在平面直角坐标系上，设不等式组（n∈N^*）
所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（即横坐标和纵坐标均
为整数的点）的个数为a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前项和为S_n，数列{}的前项和T_n，
是否存在自然数m？使得对一切n∈N^*，T_n＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知D_n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-mx+3m为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y₁、y₂，由y₁=2n，y₂=n，知a_n=3n（n∈N*），再用数学归纳法证明．
（Ⅱ）先求得，所以．因为对一切n∈N^*，T_n＞m恒成立，所以m＜T_n的最小值，从而可求．
解答：解：（Ⅰ）当n=1时，D₁为Rt△OAB₁的内部包括斜边，这时a₁=3，
当n=2时，D₂为Rt△OAB₂的内部包括斜边，这时a₂=3，
当n=3时，D₃为Rt△OAB₃的内部包括斜边，这时a₃=9
由此可猜想a_n=3n
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，猜想显然成立．
（2）假设当n=k时，猜想成立，即a_k=3k
如图，平面区域D_k为Rt△OAB_k内部包括斜边、平面区域D_k+1为Rt△△OAB_k+1内部包括斜边，∵平面区域D_k+1比平面区域D_k多3个整点，（7分）
即当n=k+1时，a_k+1=3k+3=3（k+1），这就是说当n=k+1时，猜想也成立，
由（1）、（2）知a_n=3n对一切n∈N^*都成立．（8分）
（Ⅱ）∵a_n=3n，∴数列{a_n}是首项为3，公差为3的等差数列，
∴．∴，∴
∵对一切n∈N^*，T_n＞m恒成立，∴m＜T_n的最小值．
∵在[1，+∞）上为增函数∴T_n的最小值为，∴，满足的自然数为0，
∴满足题设的自然数m存在，其值为0．（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用和不等式的应用．