Question

对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．满足f_n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设f(x)=

2x， 0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1

，则f的3阶周期点的个数是（　　）

• A、4
• B、6
• C、8
• D、10

Answer 1

分析：根据已知条件和递推关系求出f的1阶周期点的个数与2阶周期点的个数，然后归纳其得出结论：f的n阶周期点的个数是2ⁿ，从而可得本题的答案．

解答：解：当x∈[0，

1

2

]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0；
当x∈（

1

2

，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

∴f的1阶周期点的个数是2=2¹个．
当x∈[0，

1

4

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0；
当x∈（

1

4

，

1

2

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=

2

5

当x∈（

1

2

，

3

4

]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=

2

3

当x∈（

3

4

，1]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=

4

5

，
由此可得：f的2阶周期点的个数是4=2²个，
依此规律进行类推，可得f的n阶周期点的个数是2ⁿ，
∴f的3阶周期点的个数是2³=8．
故选：C

点评：本题给出分段函数，求函数的3阶周期点的个数．着重考查了分段函数的定义、周期的含义与归纳推理等知识，属于中档题．