Question

（2009•淮安模拟）已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）设a≥1，函数g（x）=x²-3ax+2a²-5，若对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范围；
（3）对任意x∈（0，+∞），求证：

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，即可得到函数的单调区间和极值；
（2）分别求出两个函数的取值范围，要使对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₀）成立，只需2a²-5＜0即可；
（3）结合（1）的结论可证后半部分，再利用构造函数的方式证明前半部分，可得答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），∴f′（x）=

1

x

-1令其为0可得x=1，
并且当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故f（x）在x=1处取到极大值f（1）=0
（2）由（1）知，当x₁∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
故f（x₁）＜f（1）=0，
因为a≥1，函数g（x）=x²-3ax+2a²-5，为开口向上的抛物线，对称轴为x=

3a

2

≥

3

2

故函数g（x）在区间（0，1）上为减函数，故g（1）＜g（x₀）＜g（0），
即g（x₀）＜2a²-5，
要使对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₀）成立，
只需2a²-5＜0即可，解得-

10

2

＜a＜

10

2

，
结合a≥1可得1≤a＜

10

2

（3）由（1）可知f（x）在x=1处取到极大值f（1）=0，也是最大值，
故f（x）≤f（1）=0，即lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，当x=1时取等号，
可证ln

x+1

x

=ln(1+

1

x

)≤(1+

1

x

)-1=

1

x

，又1+

1

x

≠1，故ln

x+1

x

＜

1

x

构造函数F（x）=

1

x+1

-ln

x+1

x

，则F′（x）=-

1

(x+1)2

-

x

x+1

(-

1

x2

)=

1

x(x+1)2

＞0
即函数F（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，当x趋向于正无穷大时，F（x）趋向于0，
故F（x）＜0，即

1

x+1

＜ln

x+1

x

，
故有

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

点评：本题为函数导数的综合应用，构造函数通过导数来解决问题是关键，属中档题．