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    已知M是所有同时满足下列两个性质的函数f（x）的集合：
    ①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
    ②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．请解答以下问题
    （1）判断函数g（x）=-x2（x∈[0，+∞））是否属于集合M？若是，请求出相应的区间[a，b]；若不是，请说明理由．
    （2）证明函数f（x）=3log2x属于集合M；
    （3）若函数f（x）=
    mx
    1+|x|
    属于集合M，求实数m的取值范围．
    考点：函数的最值及其几何意义
    专题：新定义,函数的性质及应用
    分析：（1）利用函数的单调性定义推导函数是否单调，然后假设满足条件②，利用单调性求最值，进行推导；（2）先单调性可以利用定义法证明函数的单调性，然后数形结合，利用根的存在性定理说明存在性；（3）函数在定义域R上连续，利用函数的性质证明单调，然后假设属于M，求m范围．
    解答： 解：（1）设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2则
    g（x1）-g（x2）=-x
     
    2
    1
    +x
     
    2
    2
    =（x2+x1）（x2-x1），
    ∵x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，
    ∴x2+x1＞0，x2-x1＞0，
    ∴（x2+x1）（x2-x1）＞0，
    即g（x1）-g（x2）＞0，
    g（x1）＞g（x2），
    函数g（x）=-x2（x∈[0，+∞））在其定义域上是单调递减，满足①；
    假设函数g（x）∈M，则存在区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
    又由①可知函数g（x）=-x2（x∈[0，+∞））在其定义域上是单调递减，
    则函数g（x）在其[a，b]上是单调递减，
    得
    -a2=b
    -b2=a
    b＞a≥0
    满足条件的解不存在，
    则假设不成立，函数g（x）=-x2（x∈[0，+∞））不属于集合M．
    （2）证明：函数f（x）=3log2x定义域为{x|x＞0}，
    设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2则
    f（x1）-f（x2）=3log2x1-3log2x2=3log2
    x1
    x2
    ，
    ∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
    ∴
    x1
    x2
    ＜1，
    ∴3log2
    x1
    x2
    ＜0，
    ∴f（x1）-f（x2）＜0，
    即f（x1）＜f（x2），
    函数f（x）=3log2x在其定义域上是单调递增．
    假设f（x）∈M，在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b，
    则
    3log2a=a
    3log2b=b
    ，令g（x）=2 
    x
    3
    -x，则有g（1）＞0，g（3）＜0，g（9）＜0，g（12）＞0，如右图

    存在1＜a＜3，9＜b＜12，使得g（a）=0，g（b）=0，
    也就是函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b
    综上，函数f（x）=3log2x属于集合M得证．
    （3）m=0时，函数f（x）=0，不属于M，则m≠0
    f（x）的定义域为R，函数f（x）=
    mx
    1+|x|
    =
    m
    1
    x
    +1
    		，x＞0
    0，x=0
    m
    1
    x
    -1
    		，x＜0

    当m＞0时，f（x）分别在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，且?x＜0，f（x）＜0，?x＞0，f（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，
    同理可证当m＜0时，f（x）在R上单调递减，则函数在定义域上为单调函数．
    若函数f（x）=
    mx
    1+|x|
    属于集合M，
    则在函数f（x）的定义域R内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
    即方程数
    mx
    1+|x|
    =x有两个不等实根，也就是x≠0且
    m
    1+|x|
    =1，则m=1+|x|＞1
    综上，m＞1
    点评：本题新定义题，注意条件的使用，在（2）中转化为函数后，使用根的存在性定理判断，降低计算难度．
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    2
    ．

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    +
    AC
    =2
    AQ
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    =2
    PQ
    ，若∠A=120°，
    AB
    •
    AC
    =-3，则|
    AP
    |的最小值为（　　）
    A、3
    B、
    2
    3
    C、
    		6
    3
    D、2

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    （2）(2
    1
    4
    )
    1
    2
    -（-2013）0-(
    27
    8
    )-
    2
    3
    +（
    3
    2
    ）-2．

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    +…+
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    2n
    ．

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