Question

8．已知不等式$\frac{x-a}{{x}^{2}+x+1}$＞$\frac{x+a}{{x}^{2}-x+1}$．
（1）若不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a使不等式的解集为（-1，4）．

Answer 1

分析 （1）先判断分母的符号，将原不等式化简，再结合二次函数的性质从而求出a的范围；
（2）假设存在，得到a的大致范围，求出x的解集，从而得到矛盾，假设不成立．

解答 解：（1）∵x²+x+1＞0，x²-x+1＞0，
∴原不等式可化为：（x²-x+1）（x-a）＞（x²+x+1）（x+a），
∴（a+1）x²+a＜0在R上恒成立，
令f（x）=（a+1）x²+a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{△=-4a（a+1）＜0}\end{array}\right.$，解得：a＜-1；
当a=-1时，f（x）=-1＜0在R上恒成立，
综上：a≤-1．
（2）由（1）得：原不等式为：（a+1）x²+a＜0，①
若存在实数a使不等式的解集为（-1，4），
则$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+1＞0}\end{array}\right.$，即-1＜a＜0，
解不等式①得：-$\sqrt{\frac{a}{a+1}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a}{a+1}}$，
∴$\sqrt{\frac{a}{a+1}}$=1或4，无解，
故不存在实数a使不等式的解集为（-1，4）．

点评 本题考查了解不等式问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．