已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆相交于两点,求实数的取值范围;
(3) 在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设圆心为().由于圆与直线相切,且半径为,所以 ,即.因为为整数,故.
故所求圆的方程为. …………………………………4分
(Ⅱ)把直线即.代入圆的方程,消去整理,得
.
由于直线交圆于两点,故.
即,由于,解得.
所以实数的取值范围是.………………………………………8分
(3)设符合条件的实数存在,由于,则直线的斜率为,
的方程为, 即.
由于垂直平分弦,故圆心必在上.
所以,解得.由于,
故存在实数,使得过点的直线垂直平分弦.……………12分
【解析】此题考查了直线与圆相交的性质,以及直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,一元二次方程根的判别式与解的关系,一元二次不等式的解法,解题的关键是:当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径;将直线与圆的方程联立消去y后,得到关于x的一元二次方程,此一元二次方程的解的个数决定了直线与圆交点的个数(1)设圆心M的坐标为(m,0),且m是整数,由圆C与已知直线垂直,得到圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,进而确定出圆C的方程;
(2)由直线ax-y+5=0,表示出y,代入圆的方程消去y,得到关于x的一元二次方程,根据直线与圆有两个交点,得到根的判别式大于0,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范围.
(3)假设存在利用推理得到结论。
科目:高中数学 来源:2014届广东省高一5月月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分14分)
已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆相交于两点,求实数的取值范围;
(3) 在(2)的条件下,是否存在实数,使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2014届福建省高一第三模块数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知半径为的圆的圆心在轴上,且与直线相切.圆心的横坐标是整数。
(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆相交于两点,求实数的取值范围;
(3) 在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2014届福建省等五校高一第一学期期末联考数学 题型:解答题
(本小题满分14分)已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线与圆相交于两点,求实数的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2014届福建省高一下学期第一次月考数学试卷 题型:解答题
已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线与圆相交于两点,求实数的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由
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