Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交于椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．
（1）求证：A，C，T三点共线；
（2）如果=3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为，求出直线AT，BF的交点，验证交点在椭圆上，从而可知A，C，T三点共线；
（2）过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF，求得C的坐标，代入椭圆方程可得a²=2c²，b²=c²
设P（x，y），可求，，又可求=，要求四边形APCB的面积最大值，只要求x+2y的最大值，从而可求椭圆方程，P的坐标．
解答：（1）证明：设椭圆方程为①
∴
∴②；③
解得交点C，，代入①得
满足①式，∴C在椭圆上，A，C，T三点共线；
（2）解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF
∵=3，
∴CE=
∴
代入①得
∴a²=2c²，b²=c²
设P（x，y），∴
∵
∴，
直线AC的方程为：x+2y-2c=0
P到直线AC的距离为=
=
要求四边形APCB的面积最大值，只要求x+2y的最大值
∵
∴
当且仅当时，x+2y的最大值为
∴四边形APCB的面积最大值为
∴c²=1，a²=2，b²=1
∴椭圆方程为，P的坐标为．
点评：本题以直线与椭圆的位置关系为载体，考查直线的交点，考查三角形面积的计算，考查三角形面积最大值的计算，综合性强．