Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱
CD上的动点.
（I）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（II）当⊥平面AB₁F时，求二面角C₁—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.

Answer 1

（Ⅰ）当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F.（Ⅱ）

本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.
解法一：（I）连结A₁B，则A₁B是D₁E在面ABB₁A；内的射影
∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，
于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.
连结DE，则DE是D₁E在底面ABCD内的射影.
∴D₁E⊥AFDE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中点.
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F.…………6分
（II）当D₁E⊥平面AB₁F时，由（I）知点F是CD的中点.
又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，
设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C₁H，则CH是
C₁H在底面ABCD内的射影.
C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁—EF—C的平面角.
在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，
∴tan∠C₁HC=.
∴∠C₁HC=arctan，从而∠AHC₁=.
故二面角C₁—EF—A的大小为.
解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E，F（x，1，0）


（1）当D₁E⊥平面AB₁F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C₁H，则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.
∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁—EF—A的平面角.