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如图是一个四面体形状的木块ABCD,用平行于一组对棱ACBD的平面截此四面体得截面PQMN,解答下列各问题:

1)四边形PQMN是平行四边形吗?试证明.

2)若AC=BD,能截得菱形吗?

3)在什么情况下,可以截得一个矩形?

4)在什么情况下,可以截得一个正方形?

5)若AC=BD=a,求证平行四边形PQMN的周长是定值.

 

答案:
解析:

解:(1)∵AC∥面PQMN,面PQMN∩面ACD=PQ

ACACD,∴ACPQ.

同理可证ACMNBDMQBDNP,∴PQMNMQNP.

∴四边形PQMN是平行四边形.

(2)若AC=BD,由三角形中位线定理可知,当点PAD中点时,四边形PQMN是菱形.

(3)显然,当ACBD时,四边形PQMN是矩形.

(4)由(2)、(3)可知当ACBDAC=BD时,四边形PQMN是正方形.

(5)设MQ=xPQ=yAQQD=mn.

∵△AMQ∽△ABD,∴MQBD=AQAD=m∶(m+n),

MQ=am∶(m+n),即x=am∶(m+n).

同理可得y=an∶(m+n).

x+y=a. ∴周长=2(x+y)=2a

即当AC=BD=a时,平行四边形PQMN的周长是定值2a.

 


练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:044

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1)四边形PQMN是平行四边形吗?试证明.

2)若AC=BD,能截得菱形吗?

3)在什么情况下,可以截得一个矩形?

4)在什么情况下,可以截得一个正方形?

5)若AC=BD=a,求证平行四边形PQMN的周长是定值.

 

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