Question

已知a，b是实数，函数f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致
（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立，以及3x²+a＞0，来求实数b的取值范围；
（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a-b|的最大值．

解答：解：f'（x）=3x²+a，g'（x）=2x+b．
（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x²+a＞0，
进而2x+b≥0，即b≥-2x在[-1，+∞）上恒成立，所以b≥2．
故实数b的取值范围是[2，+∞）
（2）令f'（x）=0，得x=±

- a 3

．
若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，
所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．
因此b≤0．
现设b≤0，当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0；
当x∈（-∝，-

- a 3

）时，f'（x）＞0．
因此，当x∈（-∝，-

- a 3

）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥-

- a 3

且b≥-

- a 3

，
从而-

1

3

≤a＜0，于是-

1

3

＜b＜0，因此|a-b|≤

1

3

，且当a=-

1

3

，b=0时等号成立，
又当a=-

1

3

，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x²-

1

9

），从而当x∈（-

1

3

，0）时f'（x）g'（x）＞0．
故函数f（x）和g（x）在（-

1

3

，0）上单调性一致，因此|a-b|的最大值为

1

3

．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．