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设函数f(x)=
mx+2
x-1
的图象关于直线y=x对称.
(1)求m的值;
(2)判断并证明函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性;
(3)若直线y=a(a∈R)与f(x)的图象无公共点,且f(|t-2|+
3
2
)<2a+f(4a)
,求实数t的取值范围.
分析:(1)由函数f(x)=
mx+2
x-1
的图象关于直线y=x对称,知道原函数与反函数解析式一样,从而求出m的值;
(2)利用定义法证明,函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性;
(3)根据f(x)的值域求其a的值,再由第二问函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减,求出t的范围;
解答:解:(1)∵函数f(x)=
mx+2
x-1
的图象关于直线y=x对称
f-1(x)=
x+2
x-m

∴m=1(5分)
(2)函数f(x)=
x+2
x-1
在区间(1,+∞)上单调递减     (6分)
设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2则:f(x1)-f(x2)=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
>0
(8分)
f(x)=1+
3
x-1
在(1,+∞)上的单调递减    (10分)
(3)∵函数f(x)=
x+2
x-1
=1+
3
x-1

∴函数f(x)=
x+2
x-1
的值域是(-∞,1)∪(1,+∞)
∵直线y=a(a∈R)与f(x)的图象无公共点
∴y=1,
得a=1,(12分)
f(|t-2|+
3
2
)<4=f(2)

∵f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,
|t-2|+
3
2
>2

t<
3
2
或t>
5
2
点评:此题主要考查反函数的定义,函数单调性的证明及其应用,第三问求a的值,是利用函数f(x)的值域来求,想法比较新颖,是一道好题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=mx-
m
x
-2lnx

(1)当m=1,x>1时,求证:f(x)>0;
(2)若对于x∈[1,
3
]
,均有f(x)<2成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=x-
1
x
,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A、m<0B、m≤0
C、m≤-1D、m<-1

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义运算:
.
xy
nm
.
=mx-ny
,设函数f(x)=
.
2sinx1-x
1+xsinx
.
,则函数f(x)是(  )
A、奇函数B、偶函数
C、定义域内的单调函数D、周期函数

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数f(x)=
mx+2
x-1
的图象关于直线y=x对称.
(1)求m的值;
(2)判断并证明函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性;
(3)若直线y=a(a∈R)与f(x)的图象无公共点,且f(|t-2|+
3
2
)<2a+f(4a)
,求实数t的取值范围.

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