Question

2．已知α，$β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，tanα=2，sin（α-β）=$\frac{3}{5}$．
（1）求$\frac{{2sina-cos（{π-a}）}}{{3sina-sin（{\frac{π}{2}+a}）}}$的值；
（2）求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用诱导公式，同角三角函数关系式化简即可求值．
（2）由已知利用同角三角函数关系式可求cosα，sinα，由范围α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），可求cos（α-β）的值，利用两角差的余弦函数公式即可得解．

解答 解：（1）∵α，$β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，tanα=2，
∴$\frac{{2sina-cos（{π-a}）}}{{3sina-sin（{\frac{π}{2}+a}）}}$=$\frac{2sinα+cosα}{3sinα-cosα}$=$\frac{2tanα+1}{3tanα-1}$=$\frac{2×2+1}{3×2-1}$=1．
（2）∵α，$β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，tanα=2，
∴cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵sin（α-β）=$\frac{3}{5}$，α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos（α-β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴cosβ=cos[（α-β）-α]=cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，两角差的余弦函数公式，诱导公式的应用，属于基础题．