Question

已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，且cotA+cotC=

4 7

7

，a+c=3．
（1）求cosB；（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由cotA+cotC=

4 7

7

⇒

sin(A+C)

sinAsinC

=

4 7

7

，由sinAsinC=sin²B，sin（A+C）=sinB，知

sinB

sin2B

=

4 7

7

，sinB=

7

4

，由此能求出cosB．
（2）由余弦定理 b²=a²+c²-2accosB，得ac=a2+c2-2ac•

3

4

=(a+c)2-

7

2

ac，由此能求出△ABC的面积．

解答：解：（1）由cotA+cotC=

4 7

7

⇒

sin(A+C)

sinAsinC

=

4 7

7

，
∵sinAsinC=sin²B，
sin（A+C）=sinB，
∴

sinB

sin2B

=

4 7

7

sinB=

7

4

，…（5分）
由a、b、c成等比数列，
知b²=ac，
且b不是最大边，
∴cosB=

1-sin2B

=

1-( 7 4 )2

=

3

4

，…（6分）
（2）由余弦定理 b²=a²+c²-2accosB，
得ac=a2+c2-2ac•

3

4

=(a+c)2-

7

2

ac，
得ac=2，…（11分）
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

7

4

．…（12分）

点评：本题考查三角形的解法，解题时要认真审题，仔细解答，注意正弦定理和余弦定理的灵活运用．