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如图,已知是椭圆的右焦点;圆轴交于两点,其中是椭圆的左焦点.

(1)求椭圆的离心率;
(2)设圆轴的正半轴的交点为,点是点关于轴的对称点,试判断直线与圆的位置关系;
(3)设直线与圆交于另一点,若的面积为,求椭圆的标准方程.
(1);(2)相切;(3).

试题分析:(1)将点代入圆的方程,得出的等量关系,进而求出椭圆的离心率;(2)先求出点的坐标,进而求出直线的斜率,通过直线的斜率与直线的斜率的乘积为,得到,进而得到直线与圆的位置关系;(3)通过的中位线得到的面积,从而求出的值,进而求出的值,从而确定椭圆的标准方程.
试题解析:(1)过椭圆的左焦点,把代入圆的方程,得
故椭圆的离心率
(2)在方程中令,可知点为椭圆的上顶点,
由(1)知,,故,故
在圆的方程中令可得点坐标为,则点
于是可得直线的斜率,而直线的斜率
直线与圆相切;
(3)的中线,
,从而得椭圆的标准方程为.
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